영화 <뷰티풀 마인드>(A Beautiful Mind, 2001년작)는 《뉴욕 타임즈》 경제부 기자 실비아 네이사가 쓴 같은 제목의 책(한국어판: 신현용 외 옮김, 《뷰티풀 마인드》, 승산)을 영화화한 것으로, 게임 이론의 업적으로 1994년 노벨 경제학상을 수상한 수학자 존 내쉬(John Forbes Nash Jr., 1928-)의 삶을 다루고 있다.
1900년대 초까지 경제학자들은 시장에 대한 추상적인 이론을 마련해 놓았지만, 시장 참가자와 전략의 영향은 고려하지 않고 단순히 "수요와 공급은 일치한다."고 가정하였다. 그 탓에 수요와 공급이 일치하지 않는 가격의 문제에 답을 내줄 새로운 이론이 필요했다.
1920년대 들어 존 폰 노이만(John von Neumann), 오스카 모르겐스테른(Oscar Morgenstern)이 체스와 같은 2인 영합 게임(zero-sum game: 참여자의 이득과 손실의 총합이 0이 되는 게임)에 대해 연구했으나, 현실의 경제적 거래 대부분은 영합 게임이 아니라 협상과 마찬가지로 모든 참여자가 뭔가 소득을 얻고 싶어하는(반드시 참여자의 이해가 엇갈린다고는 볼 수 없는) 상황이다. 이는 게임 이론 용어로 표현하면 비영합 게임(non-zero-sum game)에 해당한다.
내쉬 이론은 이러한 비영합 게임에 관한 이론으로서, 다른 참가자의 전략이 주어져 있다는 가정 아래 각 참가자가 최선의 전략을 세울 때 얻어지는 결과가 내시 이론의 핵심 개념인 내쉬 균형(Nash equilibrium)이다. 즉 내시 균형은 다른 참가자들이 최적전략을 세울 때를 가정하고 각자가 최적전략을 내세운 결과이다.
영화에서는 내쉬가 1948년 프린스턴 대학 근처 술집에서 친구들과 여자를 꼬시려 하면서 내시 균형이라는 발상을 떠올리는 것처럼 묘사하고 있다. 친구들이 매력적인 금발 여인을 꼬셔 보라고 하자 그는 "만약 모두가 금발 여성에게 접근하면 그녀는 그들을 가까이 하지 않을 것이다. 그렇다고 그녀의 친구들에게 가면 '꿩 대신 닭'을 원하는 상황이므로 친구들 역시 그들을 피할 것이다. 하지만 만약 처음부터 금발 여성에게 아무도 접근하지 않는다면 서로 싸울 필요도 없고, 다른 여성들이 기분을 상할 일도 없을 것이다. 그게 유일한 성공 전략이다."고 한다.
즉 각자가 가장 아름다운 여성이 아닌 그보다 덜 매력적인 여성에게 데이트를 신청하면 전체 성공 확률이 높아진다는 것이고, 이는 '모두'가 다르게 행동하면 '모두'가 좋은 결과를 얻게 된다는 말과 같은데 내쉬 균형의 분석과는 무관한 것이다. '모두'를 전제로 한다는 것은 상호간 협동이나 정보 교류가 행해짐을 뜻하는 것인데 내쉬 균형은 그런 것이 없다고 가정하는, 게임 이론 용어로는 비협조(non-cooperative) 비영합 게임에서 생각하는 것이다.
즉, '모두'가 아닌 '개인'을 전제로 하면 어떻게 자원 고갈, 환경 파괴 같은 나쁜 결과가 나오는지 설명이 된다. 개인적으로 자기 행동을 바꾸려는 이는 없으나 전체의 행동을 통해서는 해로운 결과가 나타나고, 행동을 서로 조절할 수 있으면 모두에게 좋은 결과가 생기나 개인으로서 행동하는 한 그럴 수 없다.
내쉬 균형은 각자가 최적의 결과를 예상하고 행한 행동의 종합이지만, 이로부터 반드시 최적의 결과가 나옴을 보장하는 것은 아니다. 아니, 오히려 나쁜 결과를 포함하는 것이야말로 내시 균형이라고 부를 수 있다. 상대방의 최적전략을 예상하고 수립한 최적전략이지만 상대방이 그 최적전략을 내놓지 않으면 자신의 전략도 최적이 아니게 된다는 뜻이다. 그 좋은 예가 2인 비협조 비영합 게임에서 나오는 유명한 '죄수의 딜레마'이다.
현실 세계에서 내쉬 균형을 적용할 수 있는 예로는 다음과 같은 것이 있다.
(1) 경매에서 각각의 입찰자가 얼마에 입찰할지는 타인의 입찰 예상액에 따른다. 이때 모든 입찰자가 합리적으로 생각해서 자신의 입찰가를 결정한 결과가 내시 균형이다.
(2) 두 남녀가 데이트를 하는데 발레 공연과 권투 경기가 겹쳤다. 남자는 권투를, 여자는 발레를 더 좋아하지만 각자 좋아하는 것을 혼자 보는 것보다는 같이 보는 것을 좋아한다. 이때 상대방의 행동을 예상해서 각자가 무엇을 볼지 결정한 결과가 내시 균형이다.
내용출처 : [기타] 인터넷 : <시사저널> 2002년 3월 XX일 (날짜 불명확) 기사 재구성
영화 <뷰티풀 마인드>(A Beautiful Mind, 2001년작)는 《뉴욕 타임즈》 경제부 기자 실비아 네이사가 쓴 같은 제목의 책(한국어판: 신현용 외 옮김, 《뷰티풀 마인드》, 승산)을 영화화한 것으로, 게임 이론의 업적으로 1994년 노벨 경제학상을 수상한 수학자 존 내쉬(John Forbes Nash Jr., 1928-)의 삶을 다루고 있다.
1900년대 초까지 경제학자들은 시장에 대한 추상적인 이론을 마련해 놓았지만, 시장 참가자와 전략의 영향은 고려하지 않고 단순히 "수요와 공급은 일치한다."고 가정하였다. 그 탓에 수요와 공급이 일치하지 않는 가격의 문제에 답을 내줄 새로운 이론이 필요했다.
1920년대 들어 존 폰 노이만(John von Neumann), 오스카 모르겐스테른(Oscar Morgenstern)이 체스와 같은 2인 영합 게임(zero-sum game: 참여자의 이득과 손실의 총합이 0이 되는 게임)에 대해 연구했으나, 현실의 경제적 거래 대부분은 영합 게임이 아니라 협상과 마찬가지로 모든 참여자가 뭔가 소득을 얻고 싶어하는(반드시 참여자의 이해가 엇갈린다고는 볼 수 없는) 상황이다. 이는 게임 이론 용어로 표현하면 비영합 게임(non-zero-sum game)에 해당한다.
내쉬 이론은 이러한 비영합 게임에 관한 이론으로서, 다른 참가자의 전략이 주어져 있다는 가정 아래 각 참가자가 최선의 전략을 세울 때 얻어지는 결과가 내시 이론의 핵심 개념인 내쉬 균형(Nash equilibrium)이다. 즉 내시 균형은 다른 참가자들이 최적전략을 세울 때를 가정하고 각자가 최적전략을 내세운 결과이다.
영화에서는 내쉬가 1948년 프린스턴 대학 근처 술집에서 친구들과 여자를 꼬시려 하면서 내시 균형이라는 발상을 떠올리는 것처럼 묘사하고 있다. 친구들이 매력적인 금발 여인을 꼬셔 보라고 하자 그는 "만약 모두가 금발 여성에게 접근하면 그녀는 그들을 가까이 하지 않을 것이다. 그렇다고 그녀의 친구들에게 가면 '꿩 대신 닭'을 원하는 상황이므로 친구들 역시 그들을 피할 것이다. 하지만 만약 처음부터 금발 여성에게 아무도 접근하지 않는다면 서로 싸울 필요도 없고, 다른 여성들이 기분을 상할 일도 없을 것이다. 그게 유일한 성공 전략이다."고 한다.
즉 각자가 가장 아름다운 여성이 아닌 그보다 덜 매력적인 여성에게 데이트를 신청하면 전체 성공 확률이 높아진다는 것이고, 이는 '모두'가 다르게 행동하면 '모두'가 좋은 결과를 얻게 된다는 말과 같은데 내쉬 균형의 분석과는 무관한 것이다. '모두'를 전제로 한다는 것은 상호간 협동이나 정보 교류가 행해짐을 뜻하는 것인데 내쉬 균형은 그런 것이 없다고 가정하는, 게임 이론 용어로는 비협조(non-cooperative) 비영합 게임에서 생각하는 것이다.
즉, '모두'가 아닌 '개인'을 전제로 하면 어떻게 자원 고갈, 환경 파괴 같은 나쁜 결과가 나오는지 설명이 된다. 개인적으로 자기 행동을 바꾸려는 이는 없으나 전체의 행동을 통해서는 해로운 결과가 나타나고, 행동을 서로 조절할 수 있으면 모두에게 좋은 결과가 생기나 개인으로서 행동하는 한 그럴 수 없다.
내쉬 균형은 각자가 최적의 결과를 예상하고 행한 행동의 종합이지만, 이로부터 반드시 최적의 결과가 나옴을 보장하는 것은 아니다. 아니, 오히려 나쁜 결과를 포함하는 것이야말로 내시 균형이라고 부를 수 있다. 상대방의 최적전략을 예상하고 수립한 최적전략이지만 상대방이 그 최적전략을 내놓지 않으면 자신의 전략도 최적이 아니게 된다는 뜻이다. 그 좋은 예가 2인 비협조 비영합 게임에서 나오는 유명한 '죄수의 딜레마'이다.
현실 세계에서 내쉬 균형을 적용할 수 있는 예로는 다음과 같은 것이 있다.
(1) 경매에서 각각의 입찰자가 얼마에 입찰할지는 타인의 입찰 예상액에 따른다. 이때 모든 입찰자가 합리적으로 생각해서 자신의 입찰가를 결정한 결과가 내시 균형이다.
(2) 두 남녀가 데이트를 하는데 발레 공연과 권투 경기가 겹쳤다. 남자는 권투를, 여자는 발레를 더 좋아하지만 각자 좋아하는 것을 혼자 보는 것보다는 같이 보는 것을 좋아한다. 이때 상대방의 행동을 예상해서 각자가 무엇을 볼지 결정한 결과가 내시 균형이다.
내용출처 : [기타] 인터넷 : <시사저널> 2002년 3월 XX일 (날짜 불명확) 기사 재구성
(출처 : '대중 매체 속 수학' - 네이버 지식iN)